Proof of cos(A − B) = cos Acos B + sin Asin B
Consider the following two angles A and B.
By Pythagoras' Theorem
PQ2 = (cos A − cos B)2 + (sin A − sin B)2
By Cosine Rule
Equating:
(cos A − cos B)2 + (sin A − sin B)2 = 2 − 2cos(A − B) cos2A − 2cos A cos B + cos2B + sin2A − 2sin A sin B + sin2B = 2 − 2cos(A − B) (cos2A + sin2A) + (sin2B + cos2B) − 2cos A cos B − 2sin A sin B = 2 − 2cos(A − B) 1 + 1 − 2cos A cos B − 2sin A sin B = 2 − 2cos(A − B) 2 -( 2cos A cos B + 2sin A sin B) = 2 − 2cos(A − B) ⇒ cos(A − B) = cos A cos B + 2sin A sin B
(cos A − cos B)2 + (sin A − sin B)2 = 2 − 2cos(A − B)
cos2A − 2cos A cos B + cos2B + sin2A − 2sin A sin B + sin2B = 2 − 2cos(A − B)
(cos2A + sin2A) + (sin2B + cos2B) − 2cos A cos B − 2sin A sin B = 2 − 2cos(A − B)
1 + 1 − 2cos A cos B − 2sin A sin B = 2 − 2cos(A − B)
2 -( 2cos A cos B + 2sin A sin B) = 2 − 2cos(A − B)
⇒ cos(A − B) = cos A cos B + 2sin A sin B
The proofs for the other cosine and sine compound angle formulae are similar.
Close Window